Последняя теорема

Третье послесловие

Последняя теорема Ферма.

Нам кажется, что было бы полезно чуть подробнее рассказать о последней теореме Ферма, но выше мы не нашли места, где бы этот фрагмент не разорвал почти фатальным образом нить повествования. Поэтому мы помещаем объяснение в самом конце… и если вы относитесь к большей части человечества, которая практически ничего не знает о теореме, надеемся, вы придете к выводу: книгу стоило дочитать до конца.

История самой знаменитой проблемы в математике начинается с краткой записи, оставленной как бы походя французским юристом из Тулузы, жившим в семнадцатом веке. Звали этого юриста Пьер де Ферма. Служба в юридической конторе отнимала у него не все время, и он любительски занимался математикой. Но следует отдать должное этому человеку: он имеет полное право называться одним из величайших математиков всех времен.

Эта знаменитая математическая проблема называется последней теоремой Ферма.

Одно из самых привлекательных свойств теоремы состоит в том, что ее совсем несложно понять. На самом деле человеку, сталкивающемуся с ней впервые, трудно поверить, что уже более трех столетий математики всего мира безуспешно бьются над задачкой настолько элементарной, что кажется, ее можно решить на пальцах.

Вообще-то проблема уходит корнями в далекое прошлое. Еще в пятом веке до нашей эры сам Пифагор выразил словами единственную математическую теорему, которая с тех пор превратилась в клише: квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов.

Те из нас, кто освоил математику на уровне средней школы, могут отчетливо представить себе прямоугольный треугольник и записать теорему Пифагора так:

a² + Ь² = c².

Другие математики начали изучать вопросы, связанные с теоремой Пифагора, как только он эту теорему сформулировал (математики всегда так поступают). Выяснилось, что существует много прямоугольных треугольников, длина которых измеряется целыми числами и которые удовлетворяют вышеуказанному уравнению. Например, в треугольнике со сторонами, равными пяти и двенадцати единицам, гипотенуза будет равна тринадцати единицам… и конечно, 5² плюс 12² и в самом деле равняется 13². Кое-кто рассматривал другие возможности. К примеру, существует ли прямоугольный треугольник с подобным отношением кубов его сторон? То есть может ли a² плюс b² равняться c²? И как насчет чисел в четвертой степени и вообще насчет чисел со степенью выше второй?

До появления механических калькуляторов, не говоря уже об электронных, математики тратили на подобные расчеты всю жизнь, исписывали горы бумаги. Так они поступили и с этой проблемой. Никто не нашел ответа. Забавное коротенькое уравнение работало только для квадратов, а для всех остальных степеней — нет.

И тогда все прекратили искать решения — Ферма остановил их одной-единственной строчкой, написанной от руки. Это заколдованное уравнение, работающее для квадратов, заявил он, никогда не будет работать для любой более высокой степени. Точка.

Что ж, большинство математиков опубликовали бы подобное утверждение в каком-нибудь научном журнале. Но Ферма был странноватым малым. Он поступил в своем стиле: взял да и написал пометку на полях книги древнегреческого математика Диофанта под названием «Арифметика». Вот она, эта пометка: «Я нашел этому поистине чудесное доказательство, но поля книги слишком узки для него».

Эта небрежная запись на полях стала такой важной именно потому, что в ней содержалось слово «доказательство».

Доказательство — мощное лекарственное средство в математике. Необходимость доказывать, то есть логическим путем демонстрировать, неоспоримую верность того или иного утверждения — вот что отличает математику от большинства естественных наук. Физики, к примеру, поступают довольно просто. Если физик швыряет пучок разогнанных до большой скорости протонов в алюминиевую мишень десять или сто раз и всегда получает один и тот же набор частиц, отлетающих от мишени, ему позволено предположить, что любой другой физик, вознамерившийся провести аналогичный опыт где бы то ни было, всегда получит точно такой же набор частиц.

Математику ничего подобного не позволяется. Его теоремы — это вам не статистика. Они должны быть точны. Ни один математик не сможет заявить, что его утверждение верно, до тех пор, пока он с помощью неоспоримой и безукоризненной логики не состряпает доказательство, демонстрирующее, что верность подтвердится всегда. Причем порой доказательство получается методом от противного: дескать, если бы то или это было не так, возникли бы очевидные и нелепые противоречия.

Математики сбились с ног в поисках доказательства, которым, по его утверждению, располагал Ферма. Многие великие умы — Эйлер, Гольдбах, Дирихле, Софи Жермен — и сотни менее известных всеми силами ловили ускользающее из рук подтверждение. Время от времени какой-нибудь истерзанный мученик науки вскакивал с радостным воплем «Эврика!». Таких эврик не счесть: только в начале двадцатого века за четыре года накопилось около тысячи.

Но все эти «решения» быстро разбивали в пух и прах другие математики, которые находили фундаментальные ошибки в логике. В математическом мире начало формироваться убеждение, что великий Ферма просто пошутил и никакого доказательства никогда не будет найдено.

Однако, делая такой вывод, математики были не совсем правы.

Истинное и окончательное доказательство последней теоремы Ферма появилось в самом конце двадцатого столетия. Это произошло в промежутке между 1993 и 1995 годами, когда англичанин Эндрю Уайлс, сотрудник Принстонского университета в США, опубликовал полное, окончательное, безошибочное доказательство теоремы Ферма, которой на тот момент исполнилось триста пятьдесят лет. Проблема была решена.

Однако это решение мало кого удовлетворило.

Во-первых, доказательство Уайлса необычайно объемистое — сто пятьдесят страниц мелким шрифтом. Хуже того, в нем есть фрагменты, для понимания которых (уже не говоря о подтверждении их правильности) нужно всю жизнь посвятить изучению математики. Точную оценку могла бы дать только компьютерная программа. И самое худшее: версия Уайлса никак не может претендовать на роль доказательства, которым похвастался Ферма, поскольку она основана на промежуточных выводах и математических процедурах, которые не были известны ни самому Ферма, ни кому бы то ни было в его эпоху. Поэтому многие крупные математики отказались принять доказательство Уайлса.

Так же поступил, как вы теперь знаете, и один поистине блестящий, пусть и придуманный нами ученый. Мы говорим о том, кто жил далеко от Ферма и во времени, и в пространстве, — о человеке по имени Ранджит Субраманьян.