Бот

Додаток А Множина Мандельброта

П еред тим як перейти до розгляду множини (фрактала) Мандельброта, пригадаємо, що таке звичайне квадратне рівняння (ми всі вивчали їх у початкових класах школи), а також те, як вони розв’язуються. Саме через такі рівняння найлегше збагнути поняття комплексних чисел та комплексної площини.

Квадратним рівняння називається алгебраїчне рівняння виду:

ax² + bx+ c= 0,

де a, bі c — коефіцієнти, x — змінна.

Це рівняння має дварозв’язки (корені), що визначаються з виразу:

В загальному вираз b² — 4ac, з якого добувається корінь квадратний у чисельнику, може бути будь-яким — як додатним, так і від’ємним. У випадку b² — 4ac≥ 0 проблем не виникає — рівняння розв’язується і має два корені. Що ж виходить, коли b² — 4ac< 0, і під коренем квадратним опиняється від’ємне число? До п’ятого чи шостого класу нас учили, що таке рівняння не розв’язується. Коренів просто не існує. Це твердження обґрунтовувалось неможливістю видобування кореня квадратного з від’ємного числа. Насправді все зовсім не так просто.

В математиці немало задач, під час розв’язку яких доводиться добувати корені з від’ємних чисел. Для того, щоб подолати цю проблему, математики вигадали цікаву штуку, яку назвали уявна одиниця і позначили і. Уявна одиниця — це таке число, квадрат якого дорівнює мінус одиниці. Тобто, i² = -1. Таким чином, розв’язати квадратне рівняння можна навіть при b² — 4ac< 0. Корені в такому випадку матимуть вигляд:

де і — уявна одиниця.

А тепер забудьте про квадратні рівняння і сконцентруйтесь на ідеї уявної одиниці. Введення поняття числа і призвело до появи комплексних чисел.

В загальному, комплексні числа — це розширення дійсних чисел, якими ми зазвичай користуємося при лічбі. Будь-яке комплексне число zзаписується у вигляді:

z= x + iy,

де x та y — звичайні (дійсні) числа, і — уявна одиниця.

Тривалий час комплексні числа сприймались як абстракція, вигадана математиками і придатна лиш для математичних головоломок. Нині комплексні числа дозволяють зручно і стисло сформулювати чимало математичних моделей, їх застосовують у математичній фізиці та природничих науках (електротехніці, гідродинаміці, квантовій механіці, теорії коливань тощо). Власне, якби не комплексні числа, вчені б досі не мали уявлення про фрактальну геометрію, а також про надскладну впорядкованість природи.

Комплексні числа можна представити геометрично (візуально). Візьмемо площину з прямокутною (Декартовою) системою координат. На осі абсцис відкладатимемо значення x, на осі ординат — y (див. рис. нижче). Будь-яке комплексне число (z₀ = x₀ + iy₀чи z₁ = x ₁+ iy₁) можна представити у вигляді точки на цій площині (відповідно, з координатами {x₀, y₀} та {x₁, y₁}). Ця площина дістала назву комплексної.

N. B. Зверніть увагу, дійсні числа (ті числа, якими ми користуємося в побуті) на комплексній площині відповідають виключно осі абсцис. Для них y = 0. Введення поняття комплексних чисел неймовірно розширило межі математичних обчислень. Це наче інша реальність, новий вимір. На комплексній площині ці числа — все, що лежить вище і нижче від осі абсцис. Іншими словами, з точки зору математики дійсні (звичайні) числа — це радше виняток. Переважна більшість значень виражається саме комплексними, а не дійсними числами.

Ось тепер ми нарешті підібрались упритул до множини Мандельброта.

Геометричне представлення комплексних чисел на комплексній площині

Математик Бенуа Мандельброт досліджував рекурсивні процеси виду z_i+1 = z_i² + c, де с — це довільне комплексне число, а z₀ = 0.

Візьмемо для прикладу c = 3–2i.

Тоді перші три члени послідовності дорівнюватимуть:

і так далі…

Що ж там досліджувати, спитаєте ви? Та майже нічого. Кожне з нових отриманих z_iтакож є комплексним числом і, відповідно, позначається точкою на комплексній площині. Математики ще задовго до Мандельброта помітили, що деякі z_iпрямують до нескінченності, а інші — збігаються, цебто прямують до якогось конкретного числа. Така дивна поведінка не підкорялася жодним теоріям, аналітично її не змогли пояснити. Відтак учених зацікавило, що являє собою сукупність точок послідовності z_i+1 = z_i² + c, які не прямують до нескінченності. Яка з них складеться фігура? Коло? Еліпс? Можливо, хаотичний набір точок? Який-небудь складніший візерунок?

До появи електронно-обчислювальних машин побудувати цю фігуру було неможливо. Бенуа Мандельброт першим повернувся до цієї проблеми, озброєний потужною ЕОМ та графічною системою для виведення результатів. До послідовності z→ z² + cМандельброта підштовхнули тривалі роздуми про разючу подібність при розгляді берегової лінії, гірського рельєфу, хмар та інших природних об’єктів в різних масштабах.

Тож Мандельброт узявся за побудову. Якщо точка не прямувала до нескінченності, комп’ютер зображував її чорним кольором на комплексній площині. В іншому випадку точка залишалась білою.

Я не знаю, що очікував побачити Мандельброт під час першої побудови множини, яку незабаром назвуть його іменем. Проте я точно впевнений, що він не сподівався побачити ось це:

Множина Мандельброта на комплексній площині

Мандельброт отримав фігуру, що нагадувала кардіоїду з безліччю приєднаних до неї овалів. Це здивувало вченого. Нічого подібного він раніше не бачив і головне — нічого подібного не очікував. Ніщо не вказувало не те, що у простій формулі може ховатися таке складне зображення. Проте головне здивування ще чекало на нього попереду.

Наближення однієї з ділянок множини Мандельброта

Мандельброт вибрав частину зображення і наблизив її, підбираючи початкові точки z₀ з більшою точністю. Картина, яка відкрилася, шокувала його. Те, що на великому зображенні здавалося точкою чи невиразною плямкою, при збільшенні виявилось дивним візерунком, в якому то тут, то там траплялася точна копія головного зображення — химерної кардіоїди. Подальші збільшення розкривали перед Бенуа ще більш неймовірні візерунки, всі частини яких були з’єднані між собою. При даному наближенні математик бачив цятку. Та варто було заглибитися, як цятка перетворювалась дивовижно закручені галактики.

Мандельброт не міг повірити у те, що бачить. Малюнок був плоским, але математик занурювався вглиб, неначе він був тривимірним. Це все одно що заглянути до власної шафи з одягом і раптом виявити за нею портал, який веде до іншої планети, чиї ландшафти настільки прекрасні, що просто не можуть бути описані словами. Це не вкладалося в голові. Такого не могло бути! Небачена неосяжність форм та образів просто не могла ховатися у настільки простій, просто банальній алгебраїчній формулі.

Та це ще не все.

Мандельброт підмітив, що різні точки, які не належать множині, прямують до нескінченності з різною швидкістю. Для початку він вирішив зробити примітивний розподіл, трохи розширивши умови побудови зображення. Тепер точки розподілялись на три категорії: ті, що не прямують до нескінченності, ті, які прямують з помірною швидкістю, і ті, що віддаляються на нескінченність швидко. Вчений отримав таке зображення:

Множина Мандельброта (зони сірого кольору утворюються точками, що прямують до нескінченності з помірною швидкістю)

Бенуа не спинився і пішов далі. Тепер кожній точці, яка прямувала до нескінченності, присвоювався певний колір залежно від того, наскільки швидко вона віддалялася від нуля. Підставляючи в розрахунки різні градієнти кольору, на границі фрактала Мандельброт отримав просто казкові зображення. Деякі з них наведені нижче.

Насолоджуйтесь і пам’ятайте: вся ця краса описується однією-єдиною формулою!